PINN求解瞬态热传导问题

利用DeepXDE求解二维瞬态热传导方程。

DeepXDE是一个较为完善的PINN库，其封装了大量PINN建模时所需要编写的代码，可以使用当前流行的AI框架（如pytorch、TensorFlow、PaddlePaddle、Jax等），编写的代码比较简洁易懂。

案例计算结果如图所示。

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1 问题描述

二维瞬态传热方程：

案例中，，，。 为热扩散系数，。

计算模型及边界条件如下图所示。

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计算区域为正方形，边长为2 m，各边界条件分别为：

左侧边界： 右侧边界：底部边界：顶部边界：

初始条件：。

2 模型训练2.1 导入必要的库

import deepxde as ddeimport matplotlib.pyplot as pltimport numpy as npfrom deepxde.backend import torch

2.2 指定计算区域

geom = dde.geometry.Rectangle([-1,-1],[1,1])timedomain = dde.geometry.TimeDomain(0,10)geomtime = dde.geometry.GeometryXTime(geom,timedomain)

2.3 定义PDE方程

alpha = 0.5def pde(x,y):    dy_t = dde.grad.jacobian(y,x,i=0,j=2)    dy_xx = dde.grad.hessian(y,x,i=0,j=0)    dy_yy = dde.grad.hessian(y,x,i=1,j=1)    return dy_t - alpha * (dy_xx + dy_yy)

函数pde的参数中，第一个参数x是一个具有三个分量的向量，第一个分量x[:,0]为x坐标，第二个分量x[:,1]为y坐标，第三个分量x[:,2]为t坐标。参数y为网络输出。

2.4 定义边界

计算域中包含4个几何边界。案例中，上侧与下侧为Neumann边界，左侧与右侧为dIrichlet边界，这里直接为其赋值。

# 上边界，y=1def boundary_t(x, on_boundary):    return on_boundary and np.isclose(x[1], 1)# 下边界，y=-1def boundary_b(x, on_boundary):    return on_boundary and np.isclose(x[1], -1)# 左边界，x=-1def boundary_l(x, on_boundary):    return on_boundary and np.isclose(x[0], -1)# 右边界，x=1def boundary_r(x, on_boundary):    return on_boundary and np.isclose(x[0], 1)bc_t = dde.icbc.NeumannBC(geomtime, lambda x:0, boundary_t)bc_b = dde.icbc.NeumannBC(geomtime, lambda x:20, boundary_b)bc_l = dde.icbc.DirichletBC(geomtime, lambda x:30, boundary_l)bc_r = dde.icbc.DirichletBC(geomtime, lambda x:50, boundary_r)

2.6 定义初始条件

初始值指定为0。

def init_func(x):    return 0ic = dde.icbc.IC(geomtime,init_func,lambda _,on_initial:on_initial,)

2.7 构造网络

这里采用6层全连接神经网络：输入层3个神经元；4个隐藏层，每层50个神经元；输出层1个神经元。激活函数使用tanh，初始化采用Glorot uniform。

data = dde.data.TimePDE(    geomtime,    pde,    [bc_l,bc_r,bc_b,bc_t,ic],    num_domain=8000,       num_boundary=320,       num_initial=800,        num_test=8000,     )layer_size = [3] + [50] * 4 + [1]activation = "tanh"initializer = "Glorot uniform"net = dde.nn.FNN(layer_size, activation, initializer)model = dde.Model(data, net)model.compile("adam", lr=0.001)

2.8 模型训练

采用下面的代码训练10000步，并显示损失函数残差。训练轮次可以适当增加，比如可以训练30000步以进一步降低损失。

losshistory,train_state = model.train(iterations=10000,display_every=1000)dde.saveplot(losshistory, train_state, issave=True, isplot=True)

3 计算结果

利用下面代码输出温度随时间变化动画。

import numpy as npfrom matplotlib.animation import FuncAnimationimport matplotlib as mplimport os# x,y方向离散200个节点x1 = np.linspace(-1,1,num=200,endpoint=True).flatten()y1 = np.linspace(-1,1,num=200,endpoint=True).flatten()xx1,yy1 = np.meshgrid(x1,y1)x = xx1.flatten()y = yy1.flatten()# 时间上取20个时间步，时间步长1/20=0.05sNt = 20dt = 1/Ntfor n in range(0, Nt+1):    t = n * dt    t_list = t*np.ones((len(x), 1))    x_pred = np.concatenate([x[:, None], y[:, None], t_list], axis=1)    y_pred = model.predict(x_pred)    y_p = y_pred.flatten()    data_n = np.concatenate([x_pred, y_pred], axis=1)    if n == 0:        data = data_n[:, :, None]    else:        data = np.concatenate([data, data_n[:, :, None]], axis=2)print(x_pred.shape, y_pred.shape)print(data.shape, data_n.shape)# 创建图片保存路径work_path = os.path.join('2DtransientRectTC',)isCreated = os.path.exists(work_path)if not isCreated:    os.makedirs(work_path)print("保存路径: " + work_path)# 获得y的最大值和最小值y_min = data.min(axis=(0,2,))[3]y_max = data.max(axis=(0,2,))[3]fig = plt.figure(100, figsize=(10, 10))def anim_update(t_id):    plt.clf()    x1_t, x2_t, y_p_t = data[:, 0:1, t_id], data[:, 1:2, t_id], data[:, 3:4, t_id]    x1_t, x2_t, y_p_t = x1_t.flatten(), x2_t.flatten(), y_p_t.flatten()    print(t_id, x1_t.shape, x1_t.shape, y_p_t.shape)        plt.subplot(1,1,1)    plt.tricontourf(x1_t, x2_t, y_p_t, levels=160, cmap="coolwarm")    cb0 = plt.colorbar(mpl.cm.ScalarMappable(norm=mpl.colors.Normalize(vmin=y_min, vmax=y_max), cmap="coolwarm" ),ax = plt.gca())      plt.xlabel('$x (m)$')    plt.ylabel('$y (m)$')    plt.title("Temperature field at t = " + str(round(t_id * dt,2)) + " s.", fontsize = 12)     plt.savefig(work_path + '//' + 'animation_' + str(t_id) + '.png')print("data.shape[2] = ", data.shape[2])# 创建动画anim =FuncAnimation(fig, anim_update, frames=np.arange(0, data.shape[2]).astype(np.int64), interval=200)anim.save(work_path + "//" + "animation-" + str(Nt+1) + ".gif", writer="pillow",dpi=300)

温度变化如图所示。

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本案例使用的后端框架为Pytorch。

参考资料：https://aistudio.baidu.com/projectdetail/5489960

（完）

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